在证明勾股定理的过程中，中国古代数学家刘徽采用了以形证数的独特方法，尽管其具体步骤与现代理解有所不同。刘徽原本有一个图形辅助他的证明，但遗憾的是，这个图已经失传，只留下了关于其方法的文字描述。他提到：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，通过出入相补，使每个部分保持其类，余下部分保持不变，最终合成弦方的平方。通过开方运算，得出的就是弦的长度。”刘徽的解释是这样的：设想一个直角三角形，勾（a）作为边长的正方形称为朱方，股（b）边长的正方形称为青方。通过“盈补虚”的方式，即青方和朱方合并，恰好形成一个以弦（c）为边长的正方形。这个过程揭示了勾股定理的基本关系：a² + b² = c²。刘徽在《九章算术》的注释中用“青出”、“朱出”和“青入”、“朱入”来描述图形操作，这使得他的证明形象生动，因此后人将这个方法形象地称为“青朱出入图”，也有人称其为“出入相补图”。
