二次函数是数学中的一个重要概念，它的一般形式为 $y = ax^2 + bx + c$。 根据题目要求，我们需要讨论二次函数的顶点式和交点式。
顶点式
顶点式是一种特殊的二次函数表达式，它可以直接给出函数的顶点坐标 $(h, k)$。 顶点式的形式为：
$y = a(x - h)^2 + k$
其中，$(h, k)$ 是抛物线的顶点坐标，$a$ 是开口方向和大小（$a > 0$ 时开口向上，$a < 0$ 时开口向下）。
推导过程
从一般式 $y = ax^2 + bx + c$ 到顶点式的转换可以通过完成平方来实现。 具体步骤如下：
- 将 $ax^2 + bx + c$ 进行配方，即找到一个数，使得 $ax^2 + bx$ 可以写成一个完全平方的形式。
- 通过配方，我们可以得到：
$y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right] + c$
- 进一步化简，得到：
$y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}$
此时，顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{D}{4a}\right)$，其中 $D = b^2 - 4ac$ 是判别式。
交点式
交点式是根据二次函数与 $x$ 轴的两个交点来表示的函数形式。 假设二次函数与 $x$ 轴交于点 $(x_1, 0)$ 和 $(x_2, 0)$，则交点式为：
$y = a(x - x_1)(x - x_2)$
其中，$a$ 是待定的系数，可以通过其他条件（如顶点的 $y$ 坐标或其他已知点）来确定。
推导过程
由于二次函数与 $x$ 轴交于点 $(x_1, 0)$ 和 $(x_2, 0)$，因此有：
$y = a(x - x_1)(x - x_2)$
展开后得到：
$y = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2$
与一般式 $y = ax^2 + bx + c$ 对比，可以得到：
$b = -a(x_1 + x_2), \quad c = ax_1x_2$
同时，由韦达定理可知，对于方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两个根 $x_1$ 和 $x_2$，有：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1x_2 = \frac{c}{a}$
这两个公式进一步验证了交点式的正确性。
