首先，我们采用积分的方法来求解。转动惯量的定义是以单位长度的质量m/L为基础的。对于矩形，假设其密度均匀分布，我们可以通过对质量密度乘以长度的二次方，即2mx^2/L，在区间从0到L/2（即0.5L）进行积分。这个积分的计算结果是1m * L^2 / 12，简洁而直观地给出了惯性矩的表达式。
进一步深入理解，当我们在平面物体中考虑过面内的轴线时，求转动惯量就像计算一维物体的惯性，这就是为什么我们能得到与杆的中点惯性矩相同的数值。这种简化是基于物体在某一维度上的对称性，使得惯性矩的计算变得简单。
当然，如果惯性矩需要计算在不同位置的轴线上，就需要运用到平行轴定理和垂直轴定理。平行轴定理告诉我们，物体的惯性矩会随着轴线位置的变化而变化，但可以通过原有的惯性矩加上质量与新轴线距离的平方乘以质量的积分来修正。垂直轴定理则适用于物体在某一轴线上转动惯量已知的情况，用以计算另一垂直轴的惯性矩。
