费尔马问题： 费尔马点，就是到三角形的三个顶点的距离之和最短的点。 对于一个锐角三角形，费尔马点是对各边的张角都是120度的点。 对于直角、钝角三角形，费尔马点就是最大的内角的顶点。 证明：（这里只证明锐角三角形，直角、钝角三角形略） 如图： 已知：三角形ABC，PA,PB,PC两两形成的角都是120度。 求证：在平面内任意取一个点Q，与P不重合， 则QA+QB+QC>PA+PB+PC 证明： 作EF⊥PA于A, 作DF⊥PA于B, 作DE⊥PA于C, 则△DEF为正三角形。 作QA'⊥EF于A', 作QB'⊥DF于B', 作QC'⊥DE于C', 则QA'+QB'+QC'=PA+PB+PC 注： 设△DEF的边长为a, S△DEF=S△PEF+S△PDF+S△PDE 0.5*PA*a + 0.5*PB*a + 0.5*PC*a = 0.5a * (PA+PB+PC) 而 S△DEF=S△QEF+S△QDF+S△QDE 0.5*QA'*a + 0.5*QB'*a + 0.5*QC'*a = 0.5a * (QA'+QB'+QC') ∴QA'+QB'+QC'=PA+PB+PC 根据“垂线段最短”， ∵QA'⊥EF ∴QA'>QA ∵QB'⊥DF ∴QB'>QB ∵QC'⊥DE ∴QC'>QC ∴QA+QB+QC>QA'+QB'+QC'=PA+PB+PC 即：对于任意一点Q（Q与P不重合），都有 QA+QB+QC>PA+PB+PC 也就是说，PA+PB+PC是最短的。
