高数二常用公式汇总
高等数学二是许多理工科专业学生必修的一门重要课程，它涵盖了微积分、级数理论等多个方面的内容。为了方便大家学习和复习，以下是一些高数二中常用的公式和定理：
一、极限与连续
基本初等函数的极限运算法则
- $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$
- $\lim_{x \to a} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)$
- $\lim_{x \to a} (k \cdot f(x)) = k \cdot \lim_{x \to a} f(x)$ （其中 $k$ 是常数）
- $\lim_{x \to a} (\frac{f(x)}{g(x)}) = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$ （其中 $\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$）
两个重要极限
- $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
- $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$
无穷小与无穷大的性质
- 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。
- 有限个无穷小的和仍是无穷小。
- 常量与无穷小的乘积仍为无穷小。
连续的定义及性质
- 函数在某点连续的充要条件是该点的左右极限等于该点的函数值。
- 初等函数在其定义域内是连续的。
二、导数与微分
导数的基本公式
- $(C)' = 0$ （其中 $C$ 是常数）
- $(x^n)' = nx^{n-1}$
- $(\sin x)' = \cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$
- $(\tan x)' = \sec^2 x$
- $(\cot x)' = -\csc^2 x$
- $(\sec x)' = \sec x \tan x$
- $(\csc x)' = -\csc x \cot x$
- $(e^x)' = e^x$
- $(a^x)' = a^x \ln a$ （其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$）
- $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$ （其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$）
- $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
导数的运算法则
- $(u + v)' = u' + v'$
- $(u - v)' = u' - v'$
- $(uv)' = u'v + uv'$
- $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
复合函数的求导法则
- 若 $y = f(u)$，$u = g(x)$，则 $y' = f'(u) \cdot g'(x)$ 或 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
高阶导数
- 二阶及以上导数称为高阶导数，如 $(f')' = f''$ 为二阶导数。
隐函数及参数方程的导数
- 对于隐函数 $F(x, y) = 0$，可由 $\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$ 求得 $\frac{dy}{dx}$。
- 参数方程 $\left{ \begin{array}{l} x = \varphi(t) \ y = \psi(t) \end{array} \right.$ 的导数可由 $\frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$ 求得（其中 $\varphi'(t) \neq 0$）。
三、不定积分与定积分
不定积分的基本公式
- $\int C , dx = Cx + C_1$ （其中 $C$ 和 $C_1$ 是常数）
- $\int x^n , dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ （其中 $n \neq -1$）
- $\int \frac{1}{x} , dx = \ln|x| + C$
- $\int \sin x , dx = -\cos x + C$
- $\int \cos x , dx = \sin x + C$
- $\int \tan x , dx = -\ln|\cos x| + C$
- $\int \cot x , dx = \ln|\sin x| + C$
- $\int \sec x , dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$
- $\int \csc x , dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$
- $\int e^x , dx = e^x + C$
- $\int a^x , dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ （其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$）
- $\int \ln x , dx = x\ln x - x + C$
不定积分的换元法与分部法
- 换元法：令 $u = \varphi(x)$，则 $\int f(\varphi(x))\varphi'(x) , dx = \int f(u) , du$。
- 分部法：$\int u , dv = uv - \int v , du$。
定积分的性质与计算
- 定积分的几何意义是曲边梯形的面积或平面图形的面积。
- 定积分的计算公式：$\int_a^b f(x) , dx = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。
- 微积分基本定理：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int_a^b f(x) , dx = F(b) - F(a)$。
四、多元函数微积分学
偏导数
- 设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某一邻域内有定义，当 $y$ 固定为 $y_0$ 而 $x$ 在 $x_0$ 处有增量 $\Delta x$ 时，相应地函数值有增量 $f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$。如果极限 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$ 存在，则称此极限为函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作 $f'_x(x_0, y_0)$ 或 $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$。类似地可以定义对 $y$ 的偏导数。
全微分
- 如果函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 可微，则全微分 $\Delta z = f'_x(x, y)\Delta x + f'_y(x, y)\Delta y$。
二重积分
- 二重积分是二元函数在空间区域上的积分，其物理意义可以表示为曲顶柱体的体积或平面图形的质量中心坐标等。计算方法包括直角坐标系下的计算和极坐标系下的计算等。
五、无穷级数
级数的概念与性质
- 级数是由一系列数字按照一定顺序排列而成的数列的和的表达式。常见的级数类型有正项级数、交错级数和任意项级数等。
正项级数的收敛判别法
- 比较判别法：设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都是正项级数，如果对于所有 $n$，都有 $0 \leq u_n \leq v_n$，且 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也收敛；如果 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$
