在数学中，奇函数和偶函数的性质对于理解和分析函数行为非常重要。以下是关于奇偶函数加减乘除后奇偶性判断的口诀及其解释：
口诀
- 奇+奇=偶
- 偶+偶=偶
- 奇-奇=偶
- 偶-偶=偶
- 奇×奇=奇
- 偶×偶=偶
- 奇×偶=非奇非偶（一般函数）
- 奇÷奇=偶（定义域关于原点对称时）；若定义域不关于原点对称，则结果为非奇非偶函数
- 偶÷偶=偶（除数不为0时）；若除数为0的情况存在，则需单独讨论
- 奇÷偶=奇（定义域关于原点对称时）；若定义域不关于原点对称，则结果为非奇非偶函数
解释
- 奇+奇=偶：两个奇函数相加的结果是一个偶函数。例如，f(x) = x 和 g(x) = -x 都是奇函数，它们的和 f(x) + g(x) = 0 是一个偶函数。
- 偶+偶=偶：两个偶函数相加的结果仍然是一个偶函数。例如，f(x) = x^2 和 g(x) = (x+1)^2 - 1 都是偶函数，它们的和 f(x) + g(x) = 2x^2 + 2x 是偶函数（注意这里我们进行了化简，但化简后的函数仍然是偶函数）。不过更常见的例子是两个不含x的一次项的偶函数相加，如 f(x) = x^2 和 g(x) = 4x^2 相加得到 5x^2，显然也是偶函数。
- 奇-奇=偶：两个奇函数相减的结果也是一个偶函数。这与加法类似，因为减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 偶-偶=偶：两个偶函数相减的结果仍然是一个偶函数（同样地，如果结果中有x的一次项，需要看具体情况是否可以通过化简消去）。
- 奇×奇=奇：两个奇函数相乘的结果是一个奇函数。例如，f(x) = x 和 g(x) = x^3 都是奇函数，它们的乘积 f(x) × g(x) = x^4 是奇函数（但在这个例子中，x^4实际上是偶函数，这是一个特例，因为x的任意正偶数次幂都是偶函数。通常我们应该考虑更一般的奇函数，比如f(x)=sin(x), g(x)=tan(x)，它们的乘积就不是简单的幂函数了，但仍然保持奇函数的性质，当然这需要具体的函数表达式来确定）。为了避免混淆，我们可以说“两个奇函数相乘，其结果在保持变量不变的情况下，仍为奇函数或可通过化简变为奇函数的形式（如上述x^4的特殊情况可视为通过化简从xx(-x)*(-x)得到）”。但为了口诀的简洁性，我们通常只说“奇×奇=奇”，并在实际应用时注意具体情况。
- 偶×偶=偶：两个偶函数相乘的结果是一个偶函数。例如，f(x) = x^2 和 g(x) = cos(x)^2 都是偶函数（cos(x)是偶函数，所以cos(x)^2也是偶函数），它们的乘积 f(x) × g(x) = x^2 * cos(x)^2 也是偶函数。
- 奇×偶=非奇非偶：一个奇函数和一个偶函数相乘的结果既不是奇函数也不是偶函数（除非该结果是零函数，即恒等于0的函数，但这种情况比较特殊且不具有代表性）。这是因为奇函数在y轴两侧取值正负相反，而偶函数在y轴两侧取值相同，它们的乘积将失去这种对称性。
- 奇÷奇=偶（定义域关于原点对称时）：当两个奇函数相除（且分母不为零），并且定义域关于原点对称时，结果是一个偶函数。这是因为奇函数在y轴两侧的取值是正负相反的，相除后会消除这种正负号差异。但如果定义域不关于原点对称，则结果可能是非奇非偶函数。
- 偶÷偶=偶（除数不为0时）：两个偶函数相除（且分母不为零）的结果是一个偶函数。这是因为偶函数在y轴两侧的取值是相同的，相除后仍会保持这种对称性。但如果存在除数为0的情况，则需要单独讨论该点的函数值或定义域的连续性等问题。
- 奇÷偶=奇（定义域关于原点对称时）：当一个奇函数除以一个偶函数（且分母不为零），并且定义域关于原点对称时，结果是一个奇函数。这是因为奇函数在y轴两侧的取值是正负相反的，而偶函数在y轴两侧的取值是相同的，相除后会保留奇函数的这种正负号差异。但如果定义域不关于原点对称，则结果可能是非奇非偶函数。
请注意，以上结论都是在一定条件下成立的（如定义域关于原点对称、分母不为零等）。在实际应用中，需要根据具体情况进行判断和分析。
