定义：设 $(Omega,mathscr{F},P)$ 是概率空间，${mathscr{F}n}{ngeq 1}$ 是 $mathscr{F}$ 的一列子 $sigma$ -代数。若 $mathscr{F}nsubsetmathscr{F}{n + 1}, forall ngeq 1$，则称 ${mathscr{F}_n}$ 是 ($sigma$ -代数)流(filtration)。
设 $(Omega,mathscr{F},P)$ 是带流 ${mathscr{F}_n}$ 的概率空间，${X_n}$ 是一列随机变量，如果对任意 $ngeq 1, X_n$ 关于 $mathscr{F}_n$ 可测，则称 ${X_n}$ 关于 ${mathscr{F}_n}$ 适应。
设随机变量序列 ${X_n}$ 满足下面三个条件：
则称 ${(X_n,mathscr{F}n)}{ngeq 1}$ 是 鞅(martingale)。
把 $(3)$ 中的等号改为“$leq$”或“$geq$”就得到 上鞅(supermartingale) 或 下鞅(submartingale)。
例：设 ${xi_n}$ 是 i.i.d.r.v. 列，且 $mathbb{E}xi_1 = 0$，$X_n=xi_1+cdots+xi_n$，$mathscr{F}_n=sigma(xi_1,cdots,xi_n)$，则 ${X_n,mathscr{F}_n}$ 是鞅。
证明：由条件期望的性质，$$begin{aligned}mathbb{E}(X_{n + 1}|mathscr{F}n)& =mathbb{E}(X{n}|mathscr{F}n)+mathbb{E}(xi{n + 1}|mathscr{F}n) & =X_n+mathbb{E}xi{n + 1}qquad text{($X_n$关于$mathscr{F}n$可积, $xi{n + 1}$与$mathscr{F}_n$独立)}& =X_n.end{aligned}$$
注：不同的流会得到不同的鞅。如果没有指定流，一般 $mathscr{F}_n=sigma(X_1,cdots,X_n)$，这是使得 ${X_n}$ 关于 ${mathscr{F}_n}$ 适应的最小 $sigma$ -代数，表示前 $n$ 次观测得到的信息量。
例：设 $xi$ 是可积随机变量，${mathscr{F}_n}$ 是流，则 ${mathbb{E}(xi|mathscr{F}_n),mathscr{F}n}{ngeq1}$ 是一致可积鞅。（证明见前一篇笔记）
命题1.1：
证明：
注：上鞅和下鞅作为对偶的定义，可以通过取相反数来作替换。所以我们接下来对下面的部分结果，都只会陈述上鞅或下鞅的结果。
命题1.2：鞅的期望是常数，上鞅的期望递减，下鞅的期望递增。
证明：只需对定义两边取期望即可：比如如果 ${X_n,mathscr{F}n}$ 是鞅，则$$mathbb{E}(mathbb{E}(X{n + 1}|mathscr{F}n))=mathbb{E}X_n,Rightarrow mathbb{E}X{n + 1}=mathbb{E}X_n.$$
命题1.3：设 ${X_n,mathscr{F}_n},{Y_n,mathscr{F}_n}$ 是鞅（resp. 下鞅），则 ${aX_n + bY_n,mathscr{F}_n}$ 是鞅（resp. 下鞅）。
注：一定要关于同一个流！
定理1.4：设 ${X_n,mathscr{F}n}{ngeq1}$ 是鞅（resp. 下鞅），$f$ 是连续（resp. 连续非降）凸函数。若 $mathbb{E}|f(x_n)|<+infty,forall n$，则 ${f(X_n),mathscr{F}n}{ngeq 1}$ 是下鞅。
证明：由 Jensen 不等式，$$mathbb{E}(f(X_{n + 1}|mathscr{F}n))geq f(mathbb{E}(X{n + 1}|mathscr{F}_n))=(text{resp.}geq) f(X_n), forall ngeq 1.$$
推论1.5：设 ${X_n,mathscr{F}n}{ngeq 1}$ 是鞅（resp. 非负下鞅），$pge 1$ 是常数，若 $mathbb{E}|X_n|^p<+infty$，则 ${|X_n|^p,mathscr{F}n}{nge 1}$ 是非负下鞅。
推论1.6：
定义：设 $T:Omegatooverline{mathbb{N}}triangleq mathbb{N}cup{+infty}$。如果 $forall ninmathbb{N}, [T = n]inmathscr{F}_n$，则称 $T$ 是 ${mathscr{F}n}{ngeq 1}$ 的 停时(stopping time)。
若 $T$ 是停时，定义$$mathscr{F}Ttriangleq{Qinmathscr{F}{infty}|Acap [T = n]inmathscr{F}n,forall ngeq 1},$$其中 $mathscr{F}{infty}=sigmaBig(bigcup_{n = 1}^{infty}mathscr{F}_nBig)$，则不难验证 $mathscr{F}_T$ 是 $sigma$ -代数，叫 $T$ 前 $sigma$ -代数。
注：
设 $T$ 是停时，$ninoverline{mathbb{N}}$，则 $T + n$ 是停时，但 $T - n$ 不一定是停时。这是因为 $mathscr{F}_{n + m}nsubseteqmathscr{F}_n$。
命题1.7：设 $S,T$ 是停时，${S_m}$ 是一列停时，则：
证明：
定理1.8：设 ${X_n,mathscr{F}n}$ 是适应的 r.v. 列，$T$ 是停时，则 $X_TI{[T<+infty]}$ 关于 $mathscr{F}_T$ 可测。
证明：对任意 $Binmathscr{B}(mathbb{R})$，有$$begin{aligned}[][X_TI_{[T<+infty]}in B]cap[T = +infty]& =left{begin{aligned}& varnothing, & 0in B^c, & [T=infty], & 0in B,end{aligned}right.inmathscr{F}T.[X_TI{[T<+infty]}in B]cap[T = n]& =underbrace{[X_nin B]}limits_{X_ntext{适应}}capunderbrace{[T = n]}limits_{Ttext{是停时}}inmathscr{F}T.end{aligned}$$所以 $[X_TI{[T<+infty]}in B]inmathscr{F}_T$。
下面把鞅的定义中的随机变量变成停时（把确定时间变成随机时间），得到 Doob 停止定理：
定理2.1 [Doob 停止定理]：设 $(X_n,mathscr{F}_n)$ 是鞅（resp. 上鞅），$S,T$ 是 有界 停时，且 $Sleq T$，则 $mathbb{E}(X_T|mathscr{F}_S)=X_S$（resp. $leq X_S$），a.s.。
证明：只证明上鞅的情形。由 $S,T$ 有界，设 $N_0inmathbb{N}$，使得 $T(omega)vee S(omega)leq N_0,forallomegainOmega$。所以 $|X_T|leqsum_{j = 1}^{N_0}|X_j|,|X_S|leqsum_{j = 1}^{N_0}|X_j|$，从而 $X_S,X_T$ 可积。
定理2.2：设 ${X_n,mathscr{F}n}{nleq k}$ 是上鞅，对 $lambda>0$，有
证明：
定理2.3[极大值不等式]：设 ${X_n,mathscr{F}n}{nleq k}$ 是鞅（或非负下鞅），记 $X_k^=suplimits_{nleq k}|X_n|$，则对任意 $lambda>0,pgeq 1$，有 $P(X_k^geqlambda)leqlambda^{-p}mathbb{E}|X_k|^p$。
证明：若 $mathbb{E}|X_k|^p=+infty$，则结论显然。若 $mathbb{E}|X_k|^p<+infty$，由 Jensen 不等式与鞅的性质，$$mathbb{E}|X_n|^p=mathbb{E}|mathbb{E}(X_k|mathscr{F}n)|^pleq mathbb{E}(mathbb{E}(|X_k|^p|mathscr{F}n))=mathbb{E}|X_k|^p<+infty(1leq nleq k).$$所以 ${-|X_n|^p}$ 是上鞅。从而由前一定理，$$begin{aligned}P(X_k^geqlambda)& =P((X_k^)^pgeqlambda^p)=PBig(inflimits{nleq k}(-|X_n|^p)leq-lambda^pBig) & leqdfrac{1}{lambda^p}int{[inflimits_{nleq k}(-|X_n|^p)leq-lambda^p]}|X_k|^pmathrm{d}P& leqdfrac{1}{lambda^p}mathbb{E}|X_k|^p.end{aligned}$$
定理2.4[Doob 不等式]：设 ${X_n,mathscr{F}n}{nleq k}$ 是鞅（或非负下鞅），记
